Wie viele Würfelnetze gibt es? Genau elf – mit Erklärung

Kurz gesagt: Es gibt genau elf verschiedene Würfelnetze. Gezählt werden dabei nur Netze, die sich durch Drehen oder Spiegeln nicht ineinander überführen lassen. Von den 35 möglichen Anordnungen aus sechs zusammenhängenden Quadraten lassen sich nur diese elf zu einem geschlossenen Würfel falten.

Was ein Würfelnetz ist

Ein Würfelnetz ist die aufgeklappte Oberfläche eines Würfels, also die sechs Quadrate in einer flachen Anordnung, die sich ohne Überlappung zu einem Würfel falten lässt. Alle sechs Flächen müssen dabei über Kanten miteinander verbunden sein. Ecken allein genügen nicht.

Faltet man ein solches Netz an den Kanten, entsteht ein geschlossener Körper ohne Löcher und ohne doppelt belegte Flächen. Genau das unterscheidet ein gültiges Netz von einer beliebigen Figur aus sechs Quadraten. Nur ein Teil der möglichen Figuren erfüllt diese Bedingung.

In der Schule taucht das Thema meist in der fünften oder sechsten Klasse auf, weil es räumliches Vorstellungsvermögen trainiert. Es ist zugleich eine der wenigen Aufgaben, bei denen sich eine vollständige Antwort abzählen lässt. Deshalb ist die Zahl elf so gut bekannt.

Warum es genau elf sind

Aus sechs Quadraten lassen sich insgesamt 35 verschiedene zusammenhängende Figuren bilden, sogenannte Hexominos. Von diesen 35 lassen sich nur elf zu einem Würfel falten. Die übrigen 24 überlappen sich beim Falten oder lassen eine Fläche offen.

Gezählt wird dabei jeweils nur eine Form, auch wenn sie sich drehen oder spiegeln lässt. Würde man gedrehte und gespiegelte Varianten einzeln zählen, käme man auf eine deutlich höhere Zahl. Die Angabe elf bezieht sich immer auf die Grundformen.

Der Nachweis lässt sich durch systematisches Ausprobieren führen, weil die Zahl der Möglichkeiten überschaubar ist. Genau deshalb eignet sich die Aufgabe für den Unterricht. Ein formaler Beweis ist dafür nicht nötig.

Die vier Gruppen

Sechs der elf Netze bestehen aus einer Viererreihe mit je einem Quadrat oben und unten an unterschiedlichen Positionen. Diese Gruppe ist die größte und enthält auch das bekannteste Netz in Kreuzform. Die Position der beiden Anhänge macht den Unterschied.

Drei weitere Netze bestehen aus einer Dreierreihe mit einer weiteren Dreierreihe versetzt daneben. Ein Netz besteht aus einer Zweierreihe mit einer Viererreihe. Das letzte Netz bildet eine Treppe aus drei Zweierreihen.

Diese Einteilung hilft beim Aufzählen, weil man Gruppe für Gruppe vorgehen kann. Ohne System übersieht man leicht einzelne Formen oder zählt Drehungen doppelt. Die Gruppierung nach längster Reihe ist der übliche Weg.

Welche Formen nicht funktionieren

Vier Quadrate in einem Zweier-mal-Zweier-Block können nicht Teil eines Würfelnetzes sein, weil beim Falten zwei Flächen aufeinandertreffen. Jede Figur, die einen solchen Block enthält, scheidet sofort aus. Das ist die schnellste Ausschlussregel.

Auch eine Reihe aus fünf oder sechs Quadraten funktioniert nicht, weil sich der Körper dabei nicht schließt. Die längste Reihe in einem gültigen Netz umfasst höchstens vier Quadrate. Damit lassen sich weitere Kandidaten schnell aussortieren.

Mit diesen beiden Regeln fällt der größte Teil der 24 ungültigen Figuren weg. Der Rest lässt sich einzeln prüfen. Für den Unterricht ist das ein guter Einstieg.

Wie man es überprüft

Am einfachsten ist es, das Netz auf Papier zu zeichnen, auszuschneiden und tatsächlich zu falten. Diese Methode ist zwar mühsam, liefert aber ein eindeutiges Ergebnis. Für Kinder ist sie ohnehin die anschaulichste.

Wer im Kopf prüfen will, sucht nach gegenüberliegenden Flächen: In einem gültigen Netz liegen je zwei Quadrate im Abstand von zwei Feldern entlang einer Reihe gegenüber. Diese Paare lassen sich abzählen. Passt eine Fläche in kein Paar, stimmt etwas nicht.

Digitale Werkzeuge zeigen den Faltvorgang animiert und helfen beim Vorstellungsvermögen. Sie ersetzen das eigene Falten aber nicht vollständig. Beide Wege ergänzen sich.

Die Augenzahlen

Beim Spielwürfel kommt eine zusätzliche Bedingung hinzu: Gegenüberliegende Seiten ergeben zusammen sieben. Eins liegt gegenüber sechs, zwei gegenüber fünf, drei gegenüber vier. Diese Regel ist bei fast allen handelsüblichen Würfeln erfüllt.

Trägt man Augenzahlen in ein Netz ein, muss man deshalb prüfen, welche Flächen sich nach dem Falten gegenüberliegen. Dieselbe Grundform kann damit zu einem gültigen oder ungültigen Würfel führen. Aufgaben im Unterricht nutzen genau das.

Zusätzlich gibt es zwei spiegelbildliche Varianten der Anordnung, die sich in der Drehrichtung der Zahlen unterscheiden. Handelsübliche Würfel folgen fast immer derselben Variante. Für die Zahl der Netze spielt das keine Rolle.

Die Aufgabe im Unterricht

Typische Prüfungsaufgaben zeigen mehrere Figuren aus sechs Quadraten und fragen, welche davon ein Würfelnetz ergeben. Die Ausschlussregeln helfen dabei mehr als das gedankliche Falten. Wer sie kennt, löst solche Aufgaben in Sekunden.

Eine zweite Aufgabenform gibt ein Netz mit Symbolen oder Zahlen vor und fragt, welches der abgebildeten Würfelbilder dazu passt. Hier hilft es, zuerst die gegenüberliegenden Flächenpaare zu bestimmen. Danach lassen sich die falschen Bilder schnell ausschließen.

Beide Aufgabentypen tauchen auch in Einstellungstests und Eignungsprüfungen auf, weil sie räumliches Denken messen. Dort steht meist wenig Zeit zur Verfügung. Systematisches Vorgehen schlägt dann jedes Ausprobieren.

Häufige Fragen